[原创]51nod 1296 有限制的排列 【动态规划】

2017-06-14 16:21:10 Tabris_ 阅读数：349

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以下为正文

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题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1296
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1296 有限制的排列
题目来源： HackerRank
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题 收藏 关注
计算整数集合{1,2,3,4, … N }满足下列条件的的排列个数:

在位置a1, a2, …, aK小于其邻居（编号从0开始）。
在位置b1, b2, …, bL大于其邻居。

输出符合条件的排列数量Mod 1000000007的结果。例如：N = 4，a = {1}, b = {2}，符合条件的排列为：

2 1 4 3
3 2 4 1
4 2 3 1
3 1 4 2
4 1 3 2
Input
第1行：3个数N, K, L，分别表示数组的长度，限制a的长度，限制b的长度(1 <= N <= 5000, 1 <= K, L <= N)。
第2 - K + 1行：每行一个数，对应限制a的位置(1 <= ai <= N - 2)
第K + 2 - K + L + 1行：每行一个数，对应限制b的位置(1 <= bi <= N - 2)
Output
输出符合条件的排列数量Mod 1000000007的结果。
Input示例
4 1 1
1
2
Output示例
5
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解题思路:

首先要知道的是排列的生成,
对于一个长度为x的排列,在x+1的位置插入一个元素a,那么就是将原排列中所有大于等于a的数加1，

对于本题来说，看到N的范围就知道是个O(n^2)的dp，但是dp废，，，

首先对每个位置标上状态,state[i]代表第i个位置和前一个位置的大小关系,

还是设dp[i][j]为第i个位置放j的情况数,

那么根据状态的不同转移,

dp[i][j]=∑a=1i−1dp[i−1][a],(state[i]==0)dp[i][j]=∑a=i−1j−1dp[i−1][a],(state[i]==1)dp[i][j]=∑a=1j−1dp[i−1][a],(state[i]==2)dp[i][j] = \sum_{a=1}^{i-1}dp[i-1][a],(state[i]==0 )\\ dp[i][j] = \sum_{a=i-1}^{j-1}dp[i-1][a],(state[i]==1 )\\ dp[i][j] = \sum_{a=1}^{j-1}dp[i-1][a],(state[i]==2 )

对于求和的过程用一个前缀和优化一下复杂度就能降一维,然后就会发现,转移所需要的信息就是前缀和的信息,所以dp数组也只需要一维就好了,

附本题代码
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
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20
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int N,K,L;
int state[5555];
int sum[5555];
int dp[5555];

int main(){
    scanf("%d%d%d", &N, &K, &L);

    int a;
    for (int i=0;i<K;i++){
        scanf("%d",&a);
        state[++a]=1;
        state[a+1]=2;
    }
    for (int i=0;i<L;i++){
        scanf("%d",&a);
        state[++a]=2;
        state[a+1]=1;
    }

    sum[0]=0;
    dp[1]=sum[1]=1;

    for(int i=2;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            if(state[i]==0) dp[j]=sum[i-1];
            if(state[i]==1) dp[j]=((sum[i-1]-sum[j-1])%MOD+MOD)%MOD;
            if(state[i]==2) dp[j]=sum[j-1];
        }
        for(int j=1;j<=N;j++) sum[j]=(sum[j-1]+dp[j])%MOD;
    }
    printf("%d\n",sum[N]);

    return 0;
}