[原创]2017年第0届浙江工业大学之江学院程序设计竞赛决赛 D: qwb与神奇的序列 [矩阵]【数学】

2017-06-03 02:12:15 Tabris_ 阅读数:721


博客爬取于2020-06-14 22:40:20
以下为正文

版权声明:本文为Tabris原创文章,未经博主允许不得私自转载。
https://blog.csdn.net/qq_33184171/article/details/72849656


题目链接:http://115.231.222.240:8081/JudgeOnline/problem.php?cid=1003&pid=3
——————————————————————————————————————————
Problem D: qwb与神奇的序列
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1107 Solved: 163
[Submit][Status][Web Board]
Description
qwb又遇到了一道题目:

有一个序列,初始时只有两个数x和y,之后每次操作时,在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和,得到新序列。举例说明:

初始:1 2
操作1次:1 3 2
操作2次:1 4 3 5 2
……
请问在操作n次之后,得到的序列的所有数之和是多少?
Input
多组测试数据,处理到文件结束(测试例数量<=50000)。

输入为一行三个整数x,y,n,相邻两个数之间用单个空格隔开。(0 <= x <= 1e10, 0 <= y <= 1e10, 1 < n <= 1e10)。

Output
对于每个测试例,输出一个整数,占一行,即最终序列中所有数之和。
如果和超过1e8,则输出低8位。(前导0不输出,直接理解成%1e8)
Sample Input
1 2 2
Sample Output
15
——————————————————————————————————————————

先不管x,y的值是什么看看每次x,y对结果贡献多少?
定义(n,m)其中n为x的贡献,m为y的贡献 答案就是nx+my

次数factot
0(1,0)(0,1)(1,1)
1(1,0)(1,1)(0,1)(2,2)
2(1,0)(2,1)(1,1)(1,2)(0,1)(5,5)
3(1,0)(3,1)(2,1)(3,2)(1,1)(2,3)(1,2)(1,3)(0,1)(14,14)

然后推出第3列的递推式

ai=ai131a_i=a_{i-1}*3-1

由此构造矩阵

[ aiai+1]×[ 3011]=[ ai+1ai+2]\left[\begin{array}{cc}\ a_i && a_{i+1}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\ 3 && 0\\ 1&&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\ a_{i+1} && a_{i+2}\end{array}\right]

附本题代码
——————————————————————————————————————————

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
# include <bits/stdc++.h>
typedef long long int LL;
using namespace std;

# define abs(x) (((x)>0)?(x):-(x))

const int N = 3000+10;
const int MOD = 1e8;

const int M = 2;
struct Matrix {
LL m[M][M];
void clear0(){
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
m[i][j]=0;
}
void clear1(){
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
m[i][j]=(i==j);
}
void display(){
for(int i=0;i<M;i++){
for(int j=0;j<M;j++)
printf("%lld ",m[i][j]);
puts("");
}
puts("------");
}
};

Matrix operator * (Matrix &a, Matrix &b){
Matrix c;c.clear0();

for(int k=0;k<M;k++)
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]+MOD)%MOD;

return c;
}

Matrix operator ^(Matrix &a,LL b){
Matrix c;c.clear1();

while(b){
if(b&1) c=c*a;
b>>=1,a=a*a;
}
return c;
}
Matrix a,b;
LL x,y,n;
void solve(){
a.clear0();b.clear0();
a.m[0][0]=1,a.m[0][1]=-1;

b.m[0][0]=3,b.m[0][1]=0;
b.m[1][0]=1,b.m[1][1]=1;

b=b^(n);
a=a*b;
printf("%lld\n",a.m[0][0]*(x+y)%MOD);
}

int main(){
while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&n)) solve();
return 0;
}