[原创]BZOJ 1257: [CQOI2007]余数之和sum [分块]【数学】

2017-02-13 22:59:18 Tabris_ 阅读数：268

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题目连接：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1257

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1257: [CQOI2007]余数之和sum

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Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000
100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9
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暴力来看就是for(int i=1;i<=n;i++) ans += k%i;
对于i>k的时候结果都是0,所以开始是ans+=(a-b)*b,a=b;

然后就是计算∑i=1kkmod  i\sum _{i=1}^{k} k\mod i

然后我们可以发现{ki∣i∈[1,k]}\{\dfrac{k}{i} \big | i\in [1,k]\}的集合中只有k\sqrt{k}个元素,测试发现其实应该是2×k2\times \sqrt{k}个

对于ki\dfrac{k}{i}相等的集合中kmod  ik\mod i的解是呈等差数列的,所以可以将for(int i=1;i<=k;i++) ans += k%i;分成求解k\sqrt{k}个等差数列的和,这就是分段

附本题代码
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LL a,b,ans;

void work(){
    ans = 0;
    cin>>a>>b;
    if(a>b) ans +=(a-b)*b,a=b;
    for(int i=1,j;i<=a;i=j+1){
        j=b/(b/i);
        if(j>=a) j=a;
        ans+=(LL)(j-i+1)*b-(LL)(j-i+1)*(i+j)/2*(b/i); //i~j就是一个块
    }
    cout<<ans<<endl;
}

int main(){
    work();
    return 0;
}