[原创]HDU 2516 取石子游戏 [斐波那契博弈]

2016-03-06 13:57:58 Tabris_ 阅读数：673

博客爬取于2020-06-14 22:44:59
以下为正文

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博弈问题#

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取石子游戏

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3862 Accepted Submission(s): 2307

Problem Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

Output
先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".
参看Sample Output.

Sample Input
2
13
10000
0

Sample Output
Second win
Second win
First win

斐波那契博弈这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

先看看斐波那契数列的必败证明：

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3f[k-1]与1/2f[k]的大小。即4f[k-1]与3f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即i=k+1时，结论依然成立。

对于不是FIB数，首先进行分解。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

齐肯拉夫定理代码实现

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//齐肯多夫定理 代码 实现
int largestFib(int n)
{
    if(n==0||n==1)
        return n;
    int a=0;
    int b=1;
    int c=1;
    while(c<=n)
    {
        a=b;
        b=c;
        c=a+b;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n>0)
    {
        int tempn=largestFib(n);
        cout<<tempn<<" ";
        n=n-tempn;
    }

}

附本题AC代码

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# include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
   int a[50];
   __int64 i;
   long long int n;
   while(1)
   {
       cin>>n;
       if(n==1)
       continue;
       if(n==0)
        break;
       a[0]=1;
       a[1]=1;
       for(i=2;i<46;i++)
       {
           a[i]=a[i-1]+a[i-2];
       }
           for(i=0;i<46;i++)
                if(a[i]==n)
           {
               cout<<"Second win"<<endl;
                 break;
           }
           if(i==46)
            cout<<"First win"<<endl;

   }
    return 0;
}